Exercice - Oscillateur harmonique avec ressort vertical
On considère un ressort vertical, de raideur \( k \) et de longueur à vide \( l_0 \), auquel est accroché, en son point le plus bas, une masse \( m \). Le tout est plongé dans le champ de gravitation terrestre noté \( \vec{g} \). Les forces s'appliquant sur la masse s'écrivent alors \( m\vec{g} = mg\vec{e}_z \) et \( -k(z-l_0)\vec{e}_z \) si \( z \) désigne la distance vers le bas de la masse, et l'accélération \( \ddot{z}\vec{e}_z \). Initialement \( z(0) = l_0 \) et \( \frac{dz}{dt}(0) = 0 \).
1) En utilisant le PFD, montrer que l'on retrouve un oscillateur harmonique.
2) En déterminer la position d'équilibre \( z_e \).
3) Vérifier la dimension et la cohérence physique de l'expression de \( z_e \) : que se passe-t-il si \( g \to \infty \) ? \( m \to \infty \) ? \( k \to \infty \) (à quoi correspond ce cas physiquement ?)
4) Intégrer cette relation et montrer que l'on retrouve, à une constante près :
5) Tracer \( E_c \) et \( E_p \) en fonction du temps. Que remarque-t-on ?
Cette idée de "vases communiquants" entre les deux termes de l'énergie mécanique est fondamentale à retenir.
Correction de l'exercice 22
1 - PFD et oscillateur harmonique
Le principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué à la masse \( m \) selon l'axe \( z \) descendant donne :
En réarrangeant les termes :
Introduisons maintenant la position d'équilibre \( z_e \) (qui sera déterminée à la question suivante) et posons \( Z = z - z_e \).
À l'équilibre, \( \frac{d^2 z}{dt^2} = 0 \), donc :
En substituant \( z = Z + z_e \) dans l'équation du mouvement :
Mais comme \( k z_e = k l_0 + mg \), on obtient :
Ce qui est bien l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \).
2 - Position d'équilibre \( z_e \)
Comme démontré ci-dessus, la position d'équilibre est :
Cette expression représente la longueur à vide du ressort augmentée de l'allongement dû au poids de la masse.
3 - Dimension et cohérence physique
Vérification dimensionnelle :
\( \frac{mg}{k} \) a bien la dimension d'une longueur :
Cohérence physique :
- Si \( g \to \infty \) : \( z_e \to \infty \) (le ressort est très étiré sous l'effet d'une gravité énorme)
- Si \( m \to \infty \) : \( z_e \to \infty \) (le ressort est très étiré par une masse très lourde)
- Si \( k \to \infty \) : \( z_e \to l_0 \) (ressort très raide qui ne s'allonge presque pas sous l'effet du poids)
Le cas \( k \to \infty \) correspond physiquement à un ressort très rigide, quasi-indéformable.
4 - Intégration énergétique
Repartons de l'équation du mouvement après changement de variable :
Multiplions les deux membres par \( \frac{dZ}{dt} \) :
Ce qui s'écrit :
En intégrant par rapport au temps :
Or, \( Z = z - z_e \) et \( \frac{dZ}{dt} = \frac{dz}{dt} = \dot{z} \), donc :
On reconnaît bien :
À une constante près (l'énergie mécanique totale).
5 - Graphes des énergies et interprétation
Dans un oscillateur harmonique non amorti :
- \( E_c \) et \( E_p \) oscillent à la fréquence \( 2\omega_0 \)
- Leur somme \( E_m = E_c + E_p \) est constante
- Quand \( E_c \) est maximale, \( E_p \) est nulle, et vice versa
Remarque importante : On observe un échange périodique entre énergie cinétique et énergie potentielle élastique — ce sont les "vases communicants" d'énergie.
Quand la masse passe par la position d'équilibre, sa vitesse est maximale et l'énergie est principalement cinétique. Aux extrémités de la trajectoire, la vitesse s'annule et l'énergie est entièrement potentielle.
Conclusion : L'idée de "vases communicants" entre les deux formes d'énergie (cinétique et potentielle) dans un oscillateur harmonique est fondamentale à retenir. L'énergie totale se conserve tandis que sa répartition entre les deux formes varie périodiquement.