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Exercice : Oscillateur harmonique

Exercice - Oscillateur harmonique avec ressort vertical

Oscillateur harmonique avec ressort vertical

Énoncé : On considère un ressort vertical, de raideur \( k \) et de longueur à vide \( l_0 \), auquel est accroché, en son point le plus bas, une masse \( m \). Le tout est plongé dans le champ de gravitation terrestre noté \( \vec{g} \). Les forces s'appliquant sur la masse s'écrivent alors \( m\vec{g} = mg\vec{e}_z \) et \( -k(z-l_0)\vec{e}_z \) si \( z \) désigne la distance vers le bas de la masse, et l'accélération \( \ddot{z}\vec{e}_z \). Initialement \( z(0) = l_0 \) et \( \frac{dz}{dt}(0) = 0 \).

1) En utilisant le PFD, montrer que l'on retrouve un oscillateur harmonique.

2) En déterminer la position d'équilibre \( z_e \).

3) Vérifier la dimension et la cohérence physique de l'expression de \( z_e \) : que se passe-t-il si \( g \to \infty \) ? \( m \to \infty \) ? \( k \to \infty \) (à quoi correspond ce cas physiquement ?)

4) Intégrer cette relation et montrer que l'on retrouve, à une constante près :

\[E_c = \frac{1}{2}m\dot{z}^2\] \[E_p = \frac{1}{2}k(z-z_e)^2\]

5) Tracer \( E_c \) et \( E_p \) en fonction du temps. Que remarque-t-on ?

Note pédagogique : Cette idée de "vases communiquants" entre les deux termes de l'énergie mécanique est fondamentale à retenir pour comprendre la dynamique des oscillateurs harmoniques.

Correction détaillée - Oscillateur harmonique vertical

1. PFD et oscillateur harmonique

Étape 1 : Application du PFD

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse \( m \) selon l'axe \( z \) descendant donne :

\[m \frac{d^2 z}{dt^2} = mg - k(z - l_0)\]

Étape 2 : Réarrangement des termes

\[m \frac{d^2 z}{dt^2} + k z = mg + k l_0\]

Étape 3 : Changement de variable

Introduisons la position d'équilibre \( z_e \) et posons \( Z = z - z_e \).

À l'équilibre, \( \frac{d^2 z}{dt^2} = 0 \), donc :

\[mg - k(z_e - l_0) = 0 \Rightarrow z_e = l_0 + \frac{mg}{k}\]

Étape 4 : Substitution et simplification

En substituant \( z = Z + z_e \) dans l'équation du mouvement :

\[m \frac{d^2 Z}{dt^2} + k Z = 0\]

Conclusion : On obtient bien l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \).

2. Position d'équilibre \( z_e \)

Comme démontré précédemment, la position d'équilibre est :

\[z_e = l_0 + \frac{mg}{k}\]

Interprétation physique : Cette expression représente la longueur à vide du ressort (\( l_0 \)) augmentée de l'allongement statique dû au poids de la masse (\( mg/k \)).

3. Analyse dimensionnelle et cohérence physique

Analyse dimensionnelle :

\[[m] = \mathrm{M}, \quad [g] = \mathrm{L}\mathrm{T}^{-2}, \quad [k] = \mathrm{M}\mathrm{T}^{-2}\]
\[[mg/k] = \frac{\mathrm{M} \cdot \mathrm{L}\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{M}\mathrm{T}^{-2}} = \mathrm{L}\]

✓ La quantité \( mg/k \) a bien la dimension d'une longueur.

Cohérence physique - Cas limites :

  • Si \( g \to \infty \) : \( z_e \to \infty \) (le ressort est très étiré sous l'effet d'une gravité énorme)
  • Si \( m \to \infty \) : \( z_e \to \infty \) (le ressort est très étiré par une masse très lourde)
  • Si \( k \to \infty \) : \( z_e \to l_0 \) (ressort très raide qui ne s'allonge presque pas sous l'effet du poids)

Interprétation physique du cas \( k \to \infty \) : Correspond à un ressort très rigide, quasi-indéformable, où l'allongement statique est négligeable.

4. Intégration énergétique

Étape 1 : Équation différentielle en \( Z \)

\[m \frac{d^2 Z}{dt^2} = -k Z\]

Étape 2 : Multiplication par \( \frac{dZ}{dt} \)

\[m \frac{dZ}{dt} \frac{d^2 Z}{dt^2} = -k Z \frac{dZ}{dt}\]

Étape 3 : Reformulation en dérivées totales

\[\frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} m \left( \frac{dZ}{dt} \right)^2 \right] = - \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} k Z^2 \right]\]

Étape 4 : Intégration

\[\frac{1}{2} m \left( \frac{dZ}{dt} \right)^2 + \frac{1}{2} k Z^2 = \text{constante}\]

Étape 5 : Retour aux variables originales

Puisque \( Z = z - z_e \) et \( \frac{dZ}{dt} = \dot{z} \) :

\[\frac{1}{2} m \dot{z}^2 + \frac{1}{2} k (z - z_e)^2 = \text{constante}\]

Identification :

\[E_c = \frac{1}{2} m \dot{z}^2 \quad \text{(énergie cinétique)}\] \[E_p = \frac{1}{2} k (z - z_e)^2 \quad \text{(énergie potentielle élastique)}\]

L'énergie mécanique totale \( E_m = E_c + E_p \) est constante.

5. Comportement énergétique et interprétation

Caractéristiques des énergies :

  • Oscillation : \( E_c \) et \( E_p \) oscillent à la fréquence \( 2\omega_0 \)
  • Conservation : Leur somme \( E_m = E_c + E_p \) reste constante
  • Complémentarité : Quand \( E_c \) est maximale, \( E_p \) est nulle (et vice versa)
  • Déphasage : Les deux énergies sont en opposition de phase

Interprétation physique - "Vases communicants" :

L'oscillateur harmonique réalise un échange périodique entre énergie cinétique et énergie potentielle :

  • Position d'équilibre (\( z = z_e \)) : Vitesse maximale → énergie principalement cinétique
  • Extrémités (\( z = z_e \pm A \)) : Vitesse nulle → énergie entièrement potentielle
  • Transition : Conversion continue d'une forme d'énergie à l'autre

Conclusion pédagogique : Ce phénomène de "vases communicants" énergétiques illustre parfaitement le principe de conservation de l'énergie mécanique dans un système conservatif.

Synthèse et points clés

  • Un ressort vertical avec masse soumis à la gravité se comporte comme un oscillateur harmonique autour de sa position d'équilibre statique
  • La position d'équilibre incorpore l'allongement statique dû au poids : \( z_e = l_0 + mg/k \)
  • L'énergie mécanique se conserve et oscille entre formes cinétique et potentielle
  • Le concept de "vases communicants" énergétiques est fondamental pour comprendre les oscillateurs harmoniques
  • Cette analyse s'applique à de nombreux systèmes physiques (circuits LC, pendules, etc.)

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