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Exercice 1 - Théorème de Kennely : Transformation Delta-Étoile
1 - Montage étoile : Expressions des tensions
$$V_3 - V_0 = - R_3I_3$$
$$V_2 - V_0 = - R_2I_2$$
$$V_1 - V_0 = - R_1I_1$$
$$V_3 - V_2 = R_2I_2 - R_3I_3$$
$$V_2 - V_1 = R_1I_1 - R_2I_2$$
$$V_1 - V_3 = R_3I_3 - R_1I_1$$
2 - Montage triangle : Relations entre courants
Loi des mailles :
$$r_1i_1 + r_2i_2 + r_3i_3 = 0$$
Loi des nœuds :
$$\begin{cases}
i_1 + I_3 = i_2 \\
I_2 + i_3 = i_1 \\
I_1 + i_2 = i_3
\end{cases}$$
Résolution pour $i_1$ :
$$r_1i_1 + r_2(i_1 + I_3) + r_3(i_1 - I_2) = 0$$
$$i_1(r_1 + r_2 + r_3) = r_3I_2 - r_2I_3$$
$$i_1 = \frac{r_3I_2 - r_2I_3}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Résolution pour $i_2$ :
$$r_1(i_2 - I_3) + r_2i_2 + r_3(I_1 + i_2) = 0$$
$$i_2(r_1 + r_2 + r_3) = r_1I_3 - r_3I_1$$
$$i_2 = \frac{r_1I_3 - r_3I_1}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Résolution pour $i_3$ :
$$r_1(I_2 + i_3) + r_2(i_3 - I_2) + r_3i_3 = 0$$
$$i_3(r_1 + r_2 + r_3) = r_2I_1 - r_1I_2$$
$$i_3 = \frac{r_2I_1 - r_1I_2}{r_1 + r_2 + r_3}$$
3 - Montage triangle : Expressions des tensions
Pour $V_3 - V_2 = r_1i_1$ :
$$V_3 - V_2 = r_1 \times \frac{r_3I_2 - r_2I_3}{r_1 + r_2 + r_3}$$
$$V_3 - V_2 = \frac{r_1r_3I_2 - r_1r_2I_3}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Pour $V_2 - V_1 = r_3i_3$ :
$$V_2 - V_1 = r_3 \times \frac{r_2I_1 - r_1I_2}{r_1 + r_2 + r_3}$$
$$V_2 - V_1 = \frac{r_3r_2I_1 - r_3r_1I_2}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Pour $V_1 - V_3 = r_2i_2$ :
$$V_1 - V_3 = r_2 \times \frac{r_1I_3 - r_3I_1}{r_1 + r_2 + r_3}$$
$$V_1 - V_3 = \frac{r_2r_1I_3 - r_2r_3I_1}{r_1 + r_2 + r_3}$$
4 - Conditions d'équivalence Delta-Étoile
Égalité pour $V_3 - V_2$ :
$$R_2I_2 - R_3I_3 = \frac{r_1r_3I_2 - r_1r_2I_3}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Égalité pour $V_2 - V_1$ :
$$R_1I_1 - R_2I_2 = \frac{r_3r_2I_1 - r_3r_1I_2}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Égalité pour $V_1 - V_3$ :
$$R_3I_3 - R_1I_1 = \frac{r_2r_1I_3 - r_2r_3I_1}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Relations d'équivalence finales :
$$R_1 = \frac{r_2r_3}{r_1 + r_2 + r_3}$$
$$R_2 = \frac{r_1r_3}{r_1 + r_2 + r_3}$$
$$R_3 = \frac{r_1r_2}{r_1 + r_2 + r_3}$$
Exercice 2 - Pont de Wheatstone
Condition d'équilibre du pont
Calcul des potentiels :
$$V_B - V_D = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \times U$$
$$V_C - V_D = \frac{R_4}{R_3 + R_4} \times U$$
Tension $u_{BC}$ :
$$u_{BC} = (V_B - V_D) - (V_C - V_D) = V_B - V_C$$
$$u_{BC} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right) \times U$$
Condition d'équilibre : $u_{BC} = 0$
$$\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4} = 0$$
$$\frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_4}{R_3 + R_4}$$
Simplification :
$$R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 + R_2)$$
$$R_2R_3 + R_2R_4 = R_4R_1 + R_2R_4$$
$$R_2R_3 = R_4R_1$$
Condition d'équilibre du pont de Wheatstone :
$$R_1 \times R_4 = R_2 \times R_3$$